VIDURIO TAŠKO FORMULĖ

Vidurio taško formulė yra ((x ₁ + x ₂ )/2 ir ₁ + ir ₂ )/2). Dviejų taškų koordinatės yra (x₁, ir₁) ir (x₂, ir₂), o vidurio taškas yra taškas, esantis pusiaukelėje tarp šių dviejų taškų.

Vidurio taškas yra pagrindinė koordinačių geometrijos koncepcija. Jis atlieka lemiamą vaidmenį ieškant linijos atkarpos vidurio taško. Koordinačių geometrijoje yra atvejų, kai turime žinoti dviejų nurodytų taškų vidurį arba linijos atkarpos vidurį. Šiuo atveju naudojame vidurio taško formulę, nes tai paprastas ir efektyvus būdas apskaičiuoti bet kurios linijos atkarpos vidurio tašką, neatsižvelgiant į jo ilgį ar padėtį koordinačių plokštumoje.

Išsamiai apžvelgėme vidurio taško formulę su jos išvedimu naudojant trikampių panašumą. Kartu su juo kuravome išspręstus pavyzdžius „Mid Point Formula“.

Vidurio taško apibrėžimas

Taškas, kuris padalija liniją tiksliai į dvi lygias puses, yra linijos vidurio taškas. Kitaip tariant, abiejų linijos, kurioje vidurio taškas ją dalija, pusių santykis yra 1:1.

Vidurinis linijos taškas

Vidutinio linijos taško formulė

Atkarpai AB Dekarto koordinatėje, kai taško A x ašies koordinatė yra x₁o taško A y ašies koordinatė yra y₁ir panašiai taško B x ašies koordinatė yra x₂o taško B y ašies koordinatė yra y_2,linijos vidurio taškas bus nurodytas (x_m, ir_m).

Vidurio taško formulė (x_m, ir_m) yra:

metodo poeilutė java

Vidurio taško formulė

Vidutinio taško formulės išvedimas

Tegu P(x₁, ir₁) ir Q(x₂, ir₂) yra du nurodytos linijos galai koordinačių plokštumoje, o R(x,y) yra taškas toje tiesėje, kuri dalija PQ santykiu m₁:m₂toks kad

PR/RQ = m₁/m₂. . .(1)

Vidutinio taško formulės išvedimas

Nubrėžkite tieses PM, QN ir RL, statmenas ant x ašies ir per R nubrėžkite tiesią liniją, lygiagrečią x ašiai, kad MP taške S ir NQ ties T.

Taigi iš paveikslo galime pasakyti:

SR = ML = OL – OM = x – x₁. . . (2)

RT = LN = ĮJUNGTA – Ol = x₂– x. . . (3)

PS = MS – MP = LR – MP = y – y₁. . . (4)

TQ = NQ – NT = NQ – LR = y₂- ir. . . (5)

Dabar trikampis ∆ SPR yra panašus į trikampį ∆TQR .

Todėl,

SR/RT = PR/RQ

Naudodami 2, 3 ir 1 lygtis, žinome:

x – x₁/ x₂– x = m₁/ m₂

⇒ m₂x – m₂x₁= m₁x₂– m₁x

⇒ m₁x + m₂x = m₁x₂+ m₂x₁

⇒ (m₁+ m₂)x = m₁x₂+ m₂x₁

⇒ x = (m₁x₂+ m₂x₁) / (m₁+ m₂)

Dabar trikampis ∆ SPR yra panašus į trikampį ∆ TQR,

Todėl,

PS/TQ = PR/RQ

Naudodami 4, 5 ir 1 lygtis, žinome:

ir – ir₁/ ir₂– y = m₁/ m₂

⇒ m₂y – m₂ir₁= m₁ir₂– m₁ir

⇒ m₁y + m₂y = m₁ir₂+ m₂ir₁

⇒ (m₁+ m₂)y = m₁ir₂+ m₂ir₁

⇒ y = (m₁ir₂+ m₂ir₁) / (m₁+ m₂)

Taigi R(x,y) koordinatės yra:

R(x, y) = (m ₁ x ₂ + m ₂ x ₁ ) / (m ₁ + m ₂ ), (m ₁ ir ₂ + m ₂ ir ₁ ) / (m ₁ + m ₂ )

Kadangi turėjome skaičiuoti vidurio tašką, išlaikome abiejų m reikšmes₁ir m₂kaip tas pats t.y.

Vidurio taškui mes žinome pagal vidurio taško apibrėžimą, m₁= m₂= 1.

(x, y) = ((1.x₂+ 1.x₁) / (1 + 1), (1.m₂+ 1.m₁) / (1 + 1))

x, y = (x ₂ + x ₁ ) / 2 ir ₂ + ir ₁ ) / 2

Kaip rasti vidurio tašką?

Norėdami rasti bet kurios linijos atkarpos vidurio taško koordinates, galime naudoti vidurio taško formulę, jei pateikiami linijos atkarpos galiniai taškai. Apsvarstykite tą patį pavyzdį.

Pavyzdys: Raskite linijos atkarpos, kurios galiniai taškai yra (5, 6) ir (-3, 4), vidurio taško koordinates.

Sprendimas:

Kaip žinome, linijos atkarpos vidurio taškas nustatomas pagal formulę:

Vidurio taškas = ((x₁+x₂)/2 ir₁+y₂)/2)

kur (x₁, ir₁) ir (x₂, ir₂) yra linijos atkarpos galinių taškų koordinatės.

Vidurio taškas = ((5+(-3))/2, (6+4)/2)

⇒ Vidurio taškas = (2/2, 10/2)

⇒ Vidurio taškas = (1, 5)

Todėl linijos atkarpos vidurio taško koordinatės yra (1, 5).

Yra panašių formulių į vidurio taško formulę, kurios yra tokios:

Skyriaus formulė
Centroidinė formulė

Skyriaus formulė

Skyriaus formulė naudojamas norint rasti taško, kuris dalija nurodytą linijos atkarpą norimu santykiu, koordinatę. Tarkime, kad atkarpos galiniai taškai yra A ir B su koordinatėmis (x ₁ , ir ₁ ) ir (x ₂ , ir ₂ ) , o P – taškas, dalijantis tiesę AB jungiančią atkarpą m:n. Tada P koordinatė apskaičiuojama taip:

P(x, y) = [(mx ₂ + nx ₁ )/(m+n) , (mano ₂ + ₁ )/(m+n)]

Centroidinė formulė

Centroid formulė naudojama daugiakampių centro taškui rasti, o matematiškai trikampiams ir keturkampiams pateikiama taip:

Trikampio formulės centras

Trikampio su viršūnėmis centroido koordinatės (x₁, ir₁), (x₂, ir₂), ir (x₃, ir₃) yra:

C(x, y) = ((x ₁ + x ₂ + x ₃ )/3, (ir ₁ + ir ₂ + ir ₃ )/3)

Trikampio centras

Keturkampės formulės centras

Keturkampio centroido koordinatės su viršūnėmis (x₁, ir₁), (x₂, ir₂), (x₃, ir₃), ir (x₄, ir₄) yra:

C(x, y) = ((x ₁ + x ₂ + x ₃ + x ₄ )/4, (ir ₁ + ir ₂ + ir ₃ + ir ₄ )/4)

Keturkampio centras

Išspręsti vidurio taško formulės klausimai

1 klausimas: koks yra tiesės atkarpos AB vidurio taškas, kai taškas A yra ties (6,8), o taškas B yra (3,1)?

Sprendimas:

Tegul vidurio taškas yra M(x_m, ir_m),

x_m= (x₁+ x₂) / 2

x₁= 6, x₂= 3

Taigi, x_m= (6 + 3) / 2 = 9 / 2 = 4,5

ir_m= (ir₁+ ir₂) / 2

ir₁= 8 ir₂= 1

Taigi, y_m= (8 + 1) / 2 = 9 / 2 = 4,5

Vadinasi, tiesės AB vidurio taškas yra (4.5, 4.5).

2 klausimas: koks yra tiesės atkarpos AB vidurio taškas, kai taškas A yra ties (-6,4), o taškas B yra (4,2)?

Sprendimas:

Tegul vidurio taškas yra M(x_m, ir_m),

x₁= -6, x₂= 4 ir₁= 4 ir₂= 2

(x_m, ir_m) = ((x₁+ x₂) / 2 ir₁+ ir₂) / 2)

(x_m, ir_m) = ((-6 + 4) / 2, (4 + 2) / 2)

(x_m, ir_m) = ((-2)/2, (6)/2)

(x_m, ir_m) = (-1, 3)

Vadinasi, tiesės AB vidurio taškas yra (-1, 3).

3 klausimas: Raskite p reikšmę, kad (–2, 2,5) būtų vidurio taškas tarp (p, 2) ir (–1, 3).

Sprendimas:

Tegul vidurio taškas yra M(x_m, ir_m) = (-2, 2,5) kur,

x₁= -1, x_m= -2

pabaigos taško y koordinatė jau žinoma kaip 2, todėl turime rasti tik x koordinatę

x_m= (x₁+ x₂) / 2

-2 = (-1 + p) / 2

-4 = -1 + p

p = -3

Taigi kitas linijos galutinis taškas yra (-3, 2).

4 klausimas: jei atkarpos galinių taškų koordinatės yra (3, 4) ir (7, 8), raskite atstumą tarp atkarpos vidurio taško ir taško (3, 4).

Sprendimas:

Tegu A(3, 4) ir B(7, 8) yra duotosios atkarpos galiniai taškai, o C – atkarpos AB vidurio taškas.

Tada naudojant vidurio taško formulę,

C koordinatė = ( (3+7)/2 , (4+8)/2 ) = (5, 6)

Atstumo formulės naudojimas

Atstumas = √{(x₂– x₁)²+ (ir₂- ir₁)²}

⇒ Atstumas = √{(3–5)²+ (4–6)²}

⇒ Atstumas =√{(-2)²+ (-2)²}

⇒ Atstumas =√8 = 2√2

Todėl atstumas tarp linijos atkarpos vidurio taško ir taško (3, 4) yra 2√2.

Privaloma perskaityti
Atstumo formulė	Koordinačių geometrija
Pitagoro teorema	Dekarto plokštuma