VIDURKIS, DISPERSIJA IR STANDARTINIS NUOKRYPIS – APIBRĖŽIMAS IR FORMULĖ

Vidurkis, dispersija ir standartinis nuokrypis yra gyvybiškai svarbūs statistiniai matai. Variantas kiekybiškai įvertina duomenų taško nuokrypį nuo vidurkio, o standartinis nuokrypis matuoja duomenų pasiskirstymą. Pagrindinis skirtumas yra tas, kad standartinis nuokrypis yra tais pačiais vienetais kaip ir vidurkis, o dispersija yra kvadratiniais vienetais. Pasinerkite į šias sąvokas su apibrėžimais, formulėmis ir iliustruojančiu pavyzdžiu.

Vidutiniškai

Vidutiniškai yra tam tikro duomenų rinkinio vidurkis. Panagrinėkime žemiau pateiktą pavyzdį

$2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9$

Šių aštuonių duomenų taškų vidurkis (vidurkis) yra 5:

$frac{2 + 4 + 4 + 4 + 5 + 5 + 7 + 9}{8} = 5.$

$Formulė : mu=frac{sum_{i=1}^{N} x_{i}}{N}$

kur? yra vidurkis ir x₁, x₂, x₃…., x_iyra elementai.Taip pat atkreipkite dėmesį, kad vidurkis kartais žymimas $egin{masyvas}{lll} (2-5)^2 = (-3)^2 = 9 && (5-5)^2 = 0^2 = 0 (4-5)^2 = (- 1)^2 = 1 && (5-5)^2 = 0^2 = 0 (4-5)^2 = (-1)^2 = 1 && (7-5)^2 = 2^2 = 4 (4-5)^2 = (-1)^2 = 1 && (9-5)^2 = 4^2 = 16. end{masyvas}$

Dispersija

Dispersija yra visų skaičių ir vidurkių skirtumų kvadratų suma.
Nukrypimas aukščiau pateiktame pavyzdyje. Pirmiausia apskaičiuokite kiekvieno duomenų taško nuokrypius nuo vidurkio ir kiekvieno rezultatą padalykite kvadratu:

$Formulė: sigma^{2}= frac { sum_{i=1}^{N} (x_{i}-mu)^{2}}{N}$

dispersija = $extup{Variacijos koeficientas } =frac{ extup{Standartinis nuokrypis}}{Vidurkis}*100$ = 4.

kur? yra vidurkis, N yra bendras elementų skaičius arba pasiskirstymo dažnis.

Standartinis nuokrypis

Standartinis nuokrypis yra kvadratinė dispersijos šaknis. Tai matas, kiek duomenys skiriasi nuo vidurkio.

Standartinis nuokrypis (aukščiau pateiktiems duomenims) = = 2

Kodėl matematikai pasirinko kvadratą, o paskui kvadratinę šaknį, kad surastų nuokrypį, kodėl gi ne paprasčiausiai atsižvelgti į reikšmių skirtumą?
Viena iš priežasčių yra ta, kad skirtumų suma tampa 0 pagal vidurkio apibrėžimą. Galima pasirinkti absoliučių skirtumų sumą, tačiau esant absoliučiams skirtumams buvo sunku įrodyti daug gražių teoremų. [Šaltinis: MIT vaizdo paskaita 1:19]

Standartinio nuokrypio reikšmė yra 0, jei visi įvesties įrašai yra vienodi.
Jei prie visų įvesties rinkinio reikšmių pridedame (arba atimame) skaičių, pvz., 7, vidurkis padidėja (arba sumažinamas) 7, bet standartinis nuokrypis nesikeičia.
Jei visas įvesties reikšmes padauginsime iš skaičiaus 7, tiek vidurkis, tiek standartinis nuokrypis padauginami iš 7. Bet jei visas įvesties reikšmes padauginsime iš neigiamo skaičiaus, tarkime -7, vidurkis padauginamas iš -7, tačiau standartinis nuokrypis padauginamas iš 7.
Standartinis nuokrypis ir dispersija yra matas, nurodantis skaičių pasiskirstymą. Nors dispersija suteikia apytikslę sklaidos idėją, standartinis nuokrypis yra konkretesnis ir suteikia tikslius atstumus nuo vidurkio.
Vidurkis, mediana ir režimas yra pagrindinės duomenų tendencijos (sugrupuotų arba nesugrupuotų) matas.

Patikrinti:

Dispersija ir standartinis nuokrypis
Standartinio nuokrypio taikymas realiame gyvenime
Skirtumas tarp dispersijos ir standartinio nuokrypio

Žemiau pateikti klausimai buvo užduodami per ankstesnių metų GATE egzaminus Nuorodos:
https://en.wikipedia.org/wiki/Standard_deviation
http://staff.argyll.epsb.ca/jreed/math30p/statistics/standardDeviation.htm

Vidurkis, dispersija ir standartinis nuokrypis – DUK

Kuo skiriasi standartinis nuokrypis ir dispersija?

Standartinis nuokrypis ir dispersija matuoja duomenų taškų sklaidą duomenų rinkinyje, palyginti su vidurkiu. Pagrindinis skirtumas yra tas, kad dispersija matuoja kvadratinių nuokrypių nuo vidurkio vidurkį, o standartinis nuokrypis yra kvadratinė dispersijos šaknis, suteikianti sklaidos matą tais pačiais vienetais kaip ir duomenys.

Kaip apskaičiuoti vidurkį, dispersiją ir standartinį nuokrypį?

Reikšmė: sudėkite visus skaičius ir padalykite iš skaičių skaičiaus.
Dispersija: apskaičiuokite vidurkį, atimkite vidurkį iš kiekvieno skaičiaus, rezultatą sumuokite kvadratu ir padalykite iš skaičių atėmus vieną.
Standartinis nuokrypis: paimkite kvadratinę šaknį nuo dispersijos.

Kodėl yra svarbūs vidurkis, dispersija ir standartinis nuokrypis?

Šios statistinės priemonės yra labai svarbios norint suprasti duomenų paskirstymą. Vidurkis yra pagrindinė reikšmė, o dispersija ir standartinis nuokrypis leidžia suprasti duomenų kintamumą arba sklaidą, nurodant duomenų rinkinio nuoseklumą arba nepastovumą.

Ar dispersija ir standartinis nuokrypis gali būti neigiami?

Ne, dispersija ir standartinis nuokrypis negali būti neigiami. Nuokrypis apskaičiuojamas kaip kvadratinių skirtumų vidurkis nuo vidurkio, todėl gaunama neneigiama reikšmė. Kadangi standartinis nuokrypis yra kvadratinė dispersijos šaknis, jis taip pat negali būti neigiamas.

Kaip nukrypimai veikia vidurkį, dispersiją ir standartinį nuokrypį?

Išskirtiniai rodikliai gali reikšmingai paveikti vidurkį, patraukdami jį link išskirtinės vertės, todėl tiksliai neatspindi pagrindinės duomenų rinkinio tendencijos. Dispersijai ir standartiniam nuokrypiui taip pat turi įtakos, nes jie padidės, o tai rodo didesnį duomenų sklaidą dėl nuokrypio (-ų).