Matricos LU išskaidymas yra duotosios kvadratinės matricos suskaidymas į dvi trikampes matricas, vieną viršutinę trikampę matricą ir vieną apatinę trikampę matricą, kad šių dviejų matricų sandauga gautų pradinę matricą. Ją 1948 m. pristatė Alanas Turingas, kuris taip pat sukūrė Tiuringo mašiną.

LU dekompozicijos metodas, kuriuo matrica faktorinuojama kaip dviejų trikampių matricų sandauga, turi įvairių pritaikymų, tokių kaip lygčių sistemos sprendimas, kuris pats yra daugelio programų, tokių kaip srovės radimas grandinėje ir atskirų dinaminės sistemos problemų sprendimas, dalis. ; matricos atvirkštinės vertės radimas ir matricos determinanto radimas.

Kas yra L U skaidymas?

Kvadratinė matrica A gali būti išskaidyta į dvi kvadratines matricas L ir U taip, kad A = L U, kur U yra viršutinė trikampė matrica, suformuota taikant Gauso eliminacijos metodą A, o L yra apatinė trikampė matrica su įstrižainiais elementais. lygus 1.

Jei A =egin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} a_{21} & a_{22} & a_{23} a_{31} & a_{32} & a_{33} end{bmatrix} .

Java trukmė

Mes turime L = egin{bmatrix} 1 & 0 & 0 l_{21} & 1 & 0 l_{31} & l_{32} & 1 end{bmatrix} ir U =egin{bmatrix} u_{11} & u_{12} & u_{13} 0 & u_{22} & u_{23} 0 & 0 & u_{33} end{bmatrix} ;

Taip, kad A = L U t.y.left[egin{array}{lll} a_{11} & a_{12} & a_{13} a_{21} & a_{22} & a_{23} a_{31} & a_{32} & a_{33} end{array} ight]=left[egin{array}{lll} 1 & 0 & 0 l_{21} & 1 & 0 l_{31} & l_{32} & 0 end{array} ight] cdot left[egin{array}{ccc} u_{11} & u_{12} & u_{13} 0 & u_{22} & u_{23} 0 & 0 & u_{33} end{array} ight]

Čia vertė l_{dvidešimt vienas}, in_vienuolikair tt galima palyginti ir rasti.

Kas yra Gauso pašalinimo metodas?

Gauso eliminacija, taip pat žinoma kaip Gauso-Jordano eliminacija, yra metodas, naudojamas tiesinėje algebroje tiesinių lygčių sistemoms spręsti ir matricos atvirkštinei vertei rasti. Jis pavadintas matematiko Carlo Friedricho Gausso ir matematiko Wilhelmo Jordano, kurie reikšmingai prisidėjo prie jo kūrimo, vardu.

Pagal Gauso pašalinimo metodą:

1. Bet kuri nulinė eilutė turi būti matricos apačioje.
2. Pirmasis kiekvienos eilutės įrašas, kuris nėra nulis, turi būti pirmojo ankstesnės eilutės įrašo, kuris nėra nulis, dešinėje. Šis metodas sumažina matricą į eilės ešelono formą.

LU skaidymo metodas

Gamykloje bet kurią kvadratinę matricą į dvi trikampes matricas, ty viena yra apatinė trikampė matrica, o kita yra viršutinė trikampė matrica, galime atlikti šiuos veiksmus.

• Atsižvelgiant į tiesinių lygčių rinkinį, pirmiausia konvertuokite jas į matricos formą A X = C, kur A yra koeficientų matrica, X yra kintamųjų matrica, o C yra skaičių matrica dešinėje lygčių pusėje.
• Dabar sumažinkite koeficiento matricą A, t. y. matricą, gautą iš kintamųjų koeficientų visose nurodytose lygtyse, kad „n“ kintamiesiems turėtume nXn matricą, kad gautume ešeloninę eilutę, naudodami Gauso eliminacijos metodą. Taip gauta matrica yra U.
• Norėdami rasti L, turime du būdus. Pirma, likusius elementus laikyti kai kuriais dirbtiniais kintamaisiais, sudaryti lygtis naudojant A = L U ir išspręsti jas, kad rastumėte tuos dirbtinius kintamuosius. Kitas metodas yra tai, kad likę elementai yra daugiklio koeficientai, dėl kurių atitinkamos pozicijos U matricoje tapo nuliais. (Šį metodą šiek tiek sudėtinga suprasti žodžiais, bet jis bus aiškus toliau pateiktame pavyzdyje)
• Dabar turime A (nXn koeficiento matricą), L (nXn apatinę trikampę matricą), U (nXn viršutinę trikampę matricą), X (nX1 kintamųjų matricą) ir C (nX1 skaičių matricą dešinėje). lygčių pusė).
• Pateikta lygčių sistema yra A X = C. Pakeičiame A = L U. Taigi, turime L U X = C. Įdedame Z = U X, kur Z yra matrica arba dirbtiniai kintamieji ir pirmiausia išsprendžiame L Z = C, o tada U X = Z rasti X arba kintamųjų reikšmes, kurių reikėjo.

LU skaidymo pavyzdys

Naudodami LU skaidymo metodą išspręskite šią lygčių sistemą:

egin{equation*} x_1 + x_2 + x_3 = 1 end{equation*} egin{equation*} 4x_1 + 3x_2 – x_3 = 6 end{equation*} egin{equation*} 3x_1 + 5x_2 + 3x_3 = 4 end{equation*}

Sprendimas: čia turime A =

egin{bmatrix} 1 & 1 & 1 4 & 3 & -1 3 & 5 & 3 end{bmatrix} , X = egin{bmatrix} x_1 x_2 x_3 end{bmatrix}

ir

C = egin{bmatrix} 1 6 4 end{bmatrix}

kad A X = C. Dabar pirmiausia apsvarstykime

egin{bmatrix} 1 & 1 & 1 4 & 3 & -1 3 & 5 & 3 end{bmatrix}

ir konvertuokite jį į eilės ešelono formą naudodami Gauso eliminacijos metodą. Taigi, darant

egin{equation} R_2 o R_2 – 4R_1 end{equation} egin{equation} R_3 o R_3 – 3R_1 end{equation}

mes gauname

egin{bmatrix} 1 & 1 & 1 4 & 3 & -1 3 & 5 & 3 end{bmatrix} sim

egin{bmatrix} 1 & 1 & 1 0 & -1 & -5 0 & 2 & 0 end{bmatrix}

Dabar darydami

egin{equation} R_3 o R_3 – (-2)R_2 end{equation}

Mes gauname

sim egin{bmatrix} 1 & 1 & 1 0 & -1 & -5 0 & 0 & -10 end{bmatrix}

(Nepamirškite visada palikti ženklą „–“, ženklą „+“ pakeisti dviem „–“ ženklais) Taigi gauname L =

egin{bmatrix} 1 & 0 & 0 4 & 1 & 0 3 & -2 & 1 end{bmatrix}

ir U =

egin{bmatrix} 1 & 1 & 1 0 & -1 & -5 0 & 0 & -10 end{bmatrix}

(atkreipkite dėmesį, kad L matricoje,

linijinė paieška java

l_{21} = 4

yra iš (1),

l_{31} = 3

yra iš (2) ir

l_{32} = -2

yra iš (3)) Dabar darome prielaidą, kad Z

= egin{bmatrix} z_1 z_2 z_3 end{bmatrix}

ir išspręskite L Z = C.

egin{bmatrix} 1 & 0 & 0 4 & 1 & 0 3 & -2 & 1 end{bmatrix} egin{bmatrix} z_1 z_2 z_3 end{bmatrix}

= egin{bmatrix} 1 6 4 end{bmatrix}

Taigi, mes turime

z_1 = 1 ,

4z_1 + z_2 = 6 ,

3z_1 – 2z_2 + z_3 = 4 .

Išspręsime, gauname

z_1 = 1

,

z_2 = 2

ir

z_3 = 5

. Dabar išsprendžiame U X = Z

egin{bmatrix} 1 & 1 & 1 0 & -1 & -5 0 & 0 & -10 end{bmatrix} egin{bmatrix} x_1 x_2 x_3 end{bmatrix}

= egin{bmatrix} 1 2 5 end{bmatrix}

Todėl gauname

x_1 + x_2 + x_3 = 1 ,

-x_2 – 5x_3 = 2

paslėptų programų šiame įrenginyje

,

-10x_3 = 5 .

Taigi duotosios tiesinių lygčių sistemos sprendimas yra

x_1 = 1

,

x_2 = 0.5

,

x_3 = -0.5

taigi matrica X =

egin{bmatrix} 1 0.5 -0.5 end{bmatrix}

Pratimas apie LU skaidymą

Matricos LU skaidyme

| 2 2 |
| 4 9 |

, jei abu U įstrižainės elementai yra 1, tada L apatinis įstrižainės įėjimas l22 yra (GATE CS 2015) (A) 4 (B) 5 (C) 6 (D) 7

Dėl sprendimo žr VARTAI | GATE-CS-2015 (1 rinkinys) | 65 klausimas .

DUK apie LU skaidymą

Kas yra LU skaidymo metodas?

LU skilimas, trumpinys iš apatinės ir viršutinės dekompozicijos, yra matricos faktorizavimo metodas, naudojamas kvadratinei matricai suskaidyti į apatinės trikampės matricos (L) ir viršutinės trikampės matricos (U) sandaugą. Jis dažniausiai naudojamas tiesinių lygčių sistemų sprendimui ir determinantų skaičiavimui supaprastinti.

Kodėl LU skaidymas yra unikalus?

LU išskaidymas yra unikalus, nes suteikia galimybę vienareikšmiškai padalyti kvadratinę matricą A į apatinę ir viršutinę trikampes matricas (L ir U), leidžiančią efektyviai spręsti tiesines sistemas ir apskaičiuoti determinantą.

Kaip apskaičiuojamas LU skilimas?

LU išskaidymas apskaičiuojamas naudojant Gauso eliminavimą, kai kvadratinę matricą A transformuojate į apatinę (L) ir viršutinę (U) trikampes matricas, atlikdami eilučių operacijas, stebint atskirų matricų pokyčius. Šis procesas yra kartotinis ir tęsiasi tol, kol A visiškai suskaidomas. Straipsnyje pateiktas metodas su visais LU skaidymo etapais.

Kai LU skaidymas neįmanomas?

LU skaidymas gali būti neįmanomas, kai matrica A yra viena (neapverčiama) arba kai ją reikia pasukti, kad būtų stabilumas, bet sukimo elementas tampa nuliu, todėl skaidymo proceso metu jis dalijasi iš nulio.

Ar yra kokių nors alternatyvų LU skaidymui?

Taip, LU skaidymo alternatyvos apima Cholesky skilimas simetrinėms teigiamoms apibrėžtoms matricoms, QR išskaidymui bendroms matricoms ir savosiomis reikšmėmis pagrįsti metodai, pvz., spektrinis skaidymas ir vienaskaitos vertės skaidymas (SVD) įvairioms matricos operacijoms ir programoms.

Ar LU išskaidymas gali būti taikomas ne kvadratinėms matricoms?

LU skaidymas paprastai taikomas kvadratinėms matricoms. Stačiakampėms matricoms dažniau naudojamas QR skaidymas. Tačiau tokie variantai kaip LUP skaidymas taip pat gali apdoroti stačiakampes matricas, kur P yra permutacijos matrica.