2 taisyklė

Jei reiškinių LHS ir RHS sukeičiami, nelygybė pasikeičia. Tai vadinama atvirkštine savybe.

• Jei a> b, tai b
• Jeigu a
• Jei a ≥ b, tai b ≤ a
• Jei a ≤ b, tai b ≥ a

3 taisyklė

Jei iš abiejų nelygybės pusių pridedama arba atimama ta pati konstanta k, tai abi nelygybės pusės yra lygios.

• Jei a> b, tai a + k> b + k
• Jei a> b, tai a – k> b – k

Panašiai ir dėl kitų nelygybių.

• Jeigu
• Jeigu
• Jei a ≤ b, tai a + k ≤ b + k
• Jei a ≤ b, tai a – k ≤ b – k
• Jei a ≥ b, tai a + k ≥ b + k
• Jei a ≥ b, tai a – k ≥ b – k

Sudėjus ar atėmus konstantą nelygybės kryptis nekinta.

4 taisyklė

Jei k yra teigiama konstanta, kuri padauginama arba padalyta iš abiejų nelygybės pusių, tai nelygybės kryptis nesikeičia.

• Jei a> b, tai ak> bk
• Jeigu
• Jei a ≤ b, tai ak ≤ bk
• Jei a ≥ b, tai ak ≥ bk

Jei k yra neigiama konstanta, kuri padauginama arba padalyta iš abiejų nelygybės pusių, tada nelygybės kryptis pasikeičia.

• Jei a> b, tai ak
• Jei a> b, tai ak
• Jei a ≥ b, tai ak ≤ bk
• Jei a ≤ b, tai ak ≥ bk

5 taisyklė

Bet kurio skaičiaus kvadratas visada yra didesnis arba lygus nuliui.

• a²≥ 0

6 taisyklė

Paėmus kvadratines šaknis iš abiejų nelygybės pusių, nelygybės kryptis nekeičiama.

• Jei a> b, tai √a> √b
• Jeigu
• Jei a ≥ b, tai √a ≥ √b
• Jei a ≤ b, tai √a ≤ √b

Nelygybių grafikas

Nelygybės yra arba su vienu kintamuoju, arba su dviem, arba mes turime nelygybių sistemą, visas jas galima nubraižyti į Dekarto plokštumą, jei joje yra tik du kintamieji. Vieno kintamojo nelygybės brėžiamos realiose tiesėse, o du kintamieji – Dekarto plokštumoje.

Intervalų žymėjimas nelygybėms

Svarbūs punktai rašant intervalus nelygybėms:

• Jei didesnis už ir lygus ( ≥ ) arba mažesnis nei lygus ( ≤ ), įtraukiamos galinės reikšmės, todėl naudojami uždarieji arba laužtiniai skliaustai [ ].
• Jei didesnis nei ( > ) arba mažiau nei ( < ), galutinės reikšmės neįtraukiamos, todėl naudojami atviri skliaustai ().
• Tiek teigiamai, tiek neigiamai begalybei naudojami atviri skliaustai ().

Šioje lentelėje pateikiami skirtingų nelygybių intervalai:

Tiesinių nelygybių su vienu kintamuoju grafikas

Iš šios lentelės galime suprasti, kaip realioje tiesėje nubraižyti įvairias tiesines nelygybes su vienu kintamuoju.

Nelygybė	Intervalas	Grafikas
x> 1	(1, ∞)	Tiesinės nelygybės su vienu kintamuoju
x <1	(-∞, 1)
x ≥ 1	[1, ∞)
x ≤ 1	(-∞, 1]

Tiesinių nelygybių su dviem kintamaisiais grafikas

Paimkime tiesinių nelygybių su dviem kintamaisiais pavyzdį.

Apsvarstykite tiesinę nelygybę 20x + 10y ≤ 60, nes galimi duotosios nelygybės sprendiniai yra (0, 0), (0,1), (0, 2), (0,3), (0,4), (0 ,5), (0,6), (1,0), (1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (2,0), (2,1) ), (2,2), (3,0), o taip pat visi taškai už šių taškų taip pat yra nelygybės sprendimas.

Nubraižykime grafiką iš pateiktų sprendinių.

Tamsinta sritis grafike parodo galimus duotosios nelygybės sprendimus.

Taip pat Skaitykite

• Dviejų kintamųjų tiesinių nelygybių grafinis sprendimas

Nelygybių rūšys

Yra įvairių tipų nelygybės, kurios gali būti klasifikuojamos taip:

• Polinominės nelygybės: Polinominės nelygybės yra nelygybės, kurios gali būti pavaizduotos daugianario forma. Pavyzdys – 2x + 3 ≤ 10.
• Absoliučios vertės nelygybės: Absoliučios vertės nelygybės yra absoliučios vertės ženklo nelygybės. Pavyzdys- |y + 3| ≤ 4.
• Racionalioji nelygybė: Racionaliosios nelygybės yra nelygybės su trupmenomis kartu su kintamaisiais. Pavyzdys- (x + 4) / (x – 5) <5.

Kaip išspręsti nelygybes

Norėdami išspręsti nelygybes, galime atlikti šiuos veiksmus:

• 1 žingsnis: Užrašykite nelygybę lygties forma.
• 2 žingsnis: Išspręskite lygtį ir gaukite nelygybių šaknis.
• 3 veiksmas: Gautas reikšmes pavaizduokite skaičių eilutėje.
• 4 veiksmas: Išskirtas reikšmes taip pat pavaizduokite skaičių eilutėje su atvirais apskritimais.
• 5 veiksmas: Raskite intervalus iš skaičių eilutės.
• 6 veiksmas: Paimkite atsitiktinę reikšmę iš kiekvieno intervalo ir įtraukite šias reikšmes į nelygybę ir patikrinkite, ar ji tenkina nelygybę.
• 7 veiksmas: Nelygybės sprendimas yra intervalai, kurie tenkina nelygybę.

Kaip išspręsti polinomines nelygybes

Polinominės nelygybės apima tiesines nelygybes, kvadratines nelygybes, kubines nelygybes ir kt. Čia išmoksime spręsti tiesines ir kvadratines nelygybes.

Tiesinių nelygybių sprendimas

Tiesinės nelygybės gali būti sprendžiamos kaip tiesinės lygtys, bet pagal nelygybių taisyklę. Tiesines nelygybes galima išspręsti naudojant paprastas algebrines operacijas.

Vieno ar dviejų pakopų nelygybė

Vienpakopė nelygybė yra nelygybė, kurią galima išspręsti vienu žingsniu.

Pavyzdys: išspręskite: 5x <10

Sprendimas:

⇒ 5x <10 [Abiejų pusių padalijimas iš 5]

⇒ x <2 arba (-∞, 2)

Dviejų pakopų nelygybė yra nelygybė, kurią galima išspręsti dviem etapais.

paaiškinti duomenų nepriklausomumą

Pavyzdys: išspręskite: 4x + 2 ≥ 10

Sprendimas:

⇒ 4x + 2 ≥ 10

⇒ 4x ≥ 8 [Atimant 2 iš abiejų pusių]

⇒ 4x ≥ 8 [Abiejų pusių padalijimas iš 4]

⇒ x ≥ 2 arba [2, ∞)

Sudėtinės nelygybės

Sudėtinės nelygybės yra nelygybės, kurių daugybinės nelygybės yra atskirtos ir arba arba. Norėdami išspręsti sudėtines nelygybes, išspręskite nelygybes atskirai, o galutiniam sprendiniui atlikite gautų sprendinių sankirtą, jei nelygybes skiria ir ir atlikite gautų sprendinių jungtį, jei nelygybes skiria arba.

Pavyzdys: išspręskite: 4x + 6 <10 ir 5x + 2 < 12

Sprendimas:

Pirmiausia išspręskite 4x + 6 <10

⇒ 4x + 6 <10 [Atimant 6 iš abiejų pusių]

⇒ 4x <4

⇒ x <1 arba (-∞, 1) ––(i)

Antras sprendimas 5x + 2 <12

⇒ 5x + 2 <12 [Atimant 2 iš abiejų pusių]

⇒ 5x < 10

⇒ x <2 arba (-∞, 2) ——-(ii)

Iš (i) ir (ii) turime du sprendinius x <1 ir x < 2.

Galutiniam sprendimui imame sankirtą, nes nelygybes skiria ir.

⇒ (-∞, 1) ∩ (-∞, 2)

⇒ (-∞, 1)

Galutinis duotosios junginio nelygybės sprendimas yra (-∞, 1).

Skaityti daugiau

• Sudėtinės nelygybės
• Tiesinių nelygybių žodinės problemos
• Trikampio nelygybė

Solvw kvadratinės nelygybės

Paimkime pavyzdį, kaip išspręsti absoliučios vertės nelygybes.

Pavyzdys: Išspręskite nelygybę: x ² – 7x + 6 ≥ 0

Sprendimas:

Toliau pateikiami nelygybės sprendimo žingsniai: x²– 7x + 6 ≥ 0

1 žingsnis: Užrašykite nelygybę lygties forma:

x²– 7x + 6 = 0

2 žingsnis: Išspręskite lygtį:

x²– 7x + 6 = 0

x²– 6x – x + 6 = 0

x(x – 6) – 1 (x – 6) = 0

(x – 6) (x – 1) = 0

x = 6 ir x = 1

Iš aukščiau pateikto žingsnio gauname reikšmes x = 6 ir x = 1

3 veiksmas: Iš aukščiau pateiktų reikšmių intervalai yra (-∞, 1], [1, 6], [6, ∞)

Kadangi nelygybė yra ≥ kuri apima lygi, todėl gautoms reikšmėms naudojame uždarus skliaustus.

4 veiksmas: Aukščiau nurodytų intervalų vaizdavimas skaičių eilutėje.

5 veiksmas: Paimkite atsitiktinius skaičius tarp kiekvieno intervalo ir patikrinkite, ar jis atitinka reikšmę. Jei jis patenkinamas, į sprendimą įtraukite intervalą.

Intervalui (-∞, 1] atsitiktinė reikšmė bus -1.

Įdėjus x = -1 į nelygybę x²– 7x + 6 ≥ 0

⇒ (-1)²– 7(-1) + 6 ≥ 0

⇒ 1 + 7 + 6 ≥ 0

⇒ 14 ≥ 0 (tiesa)

Intervalui [1, 6] tegul atsitiktinė reikšmė yra 2.

Įdėjus x = 0 į nelygybę x²– 7x + 6 ≥ 0

⇒ 2²– 7(2) + 6 ≥ 0

⇒ 4 – 14 + 6 ≥ 0

⇒ -4 ≥ 0 (klaidinga)

Intervalo [6, ∞) atsitiktinė reikšmė bus 7.

Įdėjus x = 7 į nelygybę x²– 7x + 6 ≥ 0

⇒ 7²– 7(7) + 6 ≥ 0

⇒ 49 – 49 + 6 ≥ 0

⇒ 6 ≥ 0 (tiesa)

6 veiksmas: Taigi, absoliučios vertės nelygybės x sprendimas²– 7x + 6 ≥ 0 yra intervalas (-∞, 1] ∪ [6, ∞), nes jis tenkina nelygybę, kurią galima nubraižyti skaičių tiesėje taip:

Kaip išspręsti absoliučiosios vertės nelygybes

Paimkime pavyzdį, kaip išspręsti absoliučios vertės nelygybes.

Pavyzdys: Išspręskite nelygybę: |y + 1| ≤ 2

Sprendimas:

Toliau pateikiami nelygybės sprendimo žingsniai: |y + 1| ≤ 2

1 žingsnis: Užrašykite nelygybę lygties forma:

|y + 1| = 2

2 žingsnis: Išspręskite lygtį:

y + 1 = ∓ 2

y + 1 = 2 ir y + 1 = – 2

y = 1 ir y = -3

Iš aukščiau pateikto žingsnio gauname reikšmes y = 1 ir y = -3

3 veiksmas: Iš aukščiau pateiktų verčių intervalai yra (-∞, -3], [-3, 1], [1, ∞)

Kadangi nelygybė yra ≤ kuri apima lygi, todėl gautoms reikšmėms naudojame uždarus skliaustus.

4 veiksmas: Aukščiau nurodytų intervalų vaizdavimas skaičių eilutėje.

5 veiksmas: Paimkite atsitiktinius skaičius tarp kiekvieno intervalo ir patikrinkite, ar jis atitinka reikšmę. Jei jis patenkinamas, į sprendimą įtraukite intervalą.

Intervalui (-∞, -3] atsitiktinė reikšmė bus -4.

Įdėjus y = -4 į nelygybę |y + 1| ≤ 2

⇒ |-4+ 1| ≤ 2

⇒ |-3| ≤ 2

⇒ 3 ≤ 2 (klaidinga)

Intervalui [-3, 1] tegul atsitiktinė reikšmė yra 0.

Įdėjus y = 0 į nelygybę |y + 1| ≤ 2

⇒ |0+ 1| ≤ 2

⇒ |1| ≤ 2

⇒ 1 ≤ 2 (tiesa)

Intervalo [1, ∞) atsitiktinė reikšmė bus 2.

Įdėjus y = 2 į nelygybę |y + 1| ≤ 2

⇒ |2+ 1| ≤ 2

⇒ |3| ≤ 2

⇒ 3 ≤ 2 (klaidinga)

6 veiksmas: Taigi absoliučios vertės nelygybės |y + 1| sprendimas ≤ 2 yra intervalas [-3, -1], nes jis tenkina nelygybę, kuri gali būti nubrėžta skaičių tiesėje taip:

Kaip išspręsti racionalią nelygybę

Paimkime pavyzdį, kaip išspręsti racionalias nelygybes.

Pavyzdys: Išspręskite nelygybę: (x + 3) / (x – 1) <2

Sprendimas:

Toliau pateikiami žingsniai, kaip išspręsti nelygybę:

1 žingsnis: Užrašykite nelygybę lygties forma: (x + 3) / (x – 1) <2

(x + 3) / (x – 1) = 2

2 žingsnis: Išspręskite lygtį:

(x + 3) / (x – 1) = 2

(x + 3) = 2 (x – 1)

x + 3 = 2x – 2

2x – x = 3 + 2

x = 5

Iš aukščiau pateikto žingsnio gauname reikšmę x = 5

3 veiksmas: Iš aukščiau pateiktų reikšmių intervalai yra (-∞,1), (1, 5), (5, ∞)

Kadangi nelygybė yra

Kadangi, kai x = 1, nelygybė neapibrėžta, todėl x = 1 imame atvirą skliaustą.

4 veiksmas: Aukščiau nurodytų intervalų vaizdavimas skaičių eilutėje.

5 veiksmas: Paimkite atsitiktinius skaičius tarp kiekvieno intervalo ir patikrinkite, ar jis atitinka reikšmę. Jei jis patenkinamas, į sprendimą įtraukite intervalą.

Tegul intervalo (-∞, 1) atsitiktinė reikšmė yra 0.

x = 0 įdėjimas į nelygybę (x + 3) / (x – 1) <2

⇒ (0 + 3) / (0–1) <2

⇒ 3 / (-1) <2

⇒ -3 <2 (tiesa)

Intervalui (1, 5) tegul atsitiktinė reikšmė yra 2.

x = 3 įtraukimas į nelygybę (x + 3) / (x – 1) <2

⇒ (3 + 3) / (3 - 1) <2

⇒ 6/2 <2

⇒ 3 <2 (klaidinga)

Tegul intervalo (5, ∞) atsitiktinė reikšmė yra 2.

Įdėjus y = 6 į nelygybę (x + 3) / (x – 1) <2

⇒ (6 + 3) / (6–1) <2

⇒ 9/5 <2

⇒ 1,8 <2 (tiesa)

6 veiksmas: Taigi, absoliučios vertės nelygybės (x + 3) / (x – 1) sprendimas <2 yra intervalas (-∞, 1) ∪ (5, ∞), nes jis tenkina nelygybę, kurią galima nubraižyti skaičių tiesėje taip:

Kaip išspręsti tiesinę nelygybę dviem kintamaisiais

Paimkime pavyzdį, kaip išspręsti tiesinę nelygybę su dviem kintamaisiais.

Pavyzdys: Išspręskite: 20x + 10y ≤ 60

Sprendimas:

Apsvarstykite x = 0 ir įtraukite jį į duotąją nelygybę

⇒ 20x + 10m ≤ 60

⇒ 20(0) + 10m ≤ 60

⇒ 10 m ≤ 60

⇒ ir ≤ 6 ——(i)

Dabar, kai x = 0, y gali būti nuo 0 iki 6.

Panašiai, sudėjus vertybes į nelygybę ir ją patikrinus, nelygybė patenkinama.

Jei x = 1, y gali būti nuo 0 iki 4.

Jei x = 2, y gali būti nuo 0 iki 2.

Jei x = 3, y gali būti 0.

Galimas duotosios nelygybės sprendimas yra (0, 0), (0,1), (0, 2), (0,3), (0,4), (0,5), (0,6), ( 1,0), (1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (2,0), (2,1), (2,2), (3, 0).

Nelygybių sistemos

Nelygybių sistemos yra dviejų ar daugiau nelygybių su vienu ar keliais kintamaisiais visuma. Nelygybių sistemose yra kelios nelygybės su vienu ar keliais kintamaisiais.

Nelygybių sistema yra tokios formos:

a_vienuolikax₁+ a₁₂x₂+ a₁₃x₃…….. + a_1nx_{n 1}

a_{dvidešimt vienas}x₁+ a₂₂x₂+ a₂₃x₃…….. + a_2nx_{n 2}

a_n1x₁+ a_n2x₂+ a_n3x₃…….. + a_nnx_{n n}

Grafinis nelygybių sistemų vaizdavimas

Nelygybių sistema yra daugybinių nelygybių grupė. Pirmiausia išspręskite kiekvieną nelygybę ir nubrėžkite kiekvienos nelygybės grafiką. Visų nelygybių grafiko sankirta parodo nelygybių sistemų grafiką.

Apsvarstykite pavyzdį,

Pavyzdys: Nelygybių sistemų brėžinys

• 2x + 3y ≤ 6
• x ≤ 3
• y ≤ 2

Sprendimas:

Grafikas 2x + 3y ≤ 6

Tamsinta diagramos sritis reiškia 2x + 3y ≤ 6

Grafikas x ≤ 3

Tamsinta sritis reiškia x ≤ 3

Grafikas y ≤ 2

Tamsinta sritis reiškia y ≤ 2

Pateiktos nelygybių sistemos grafikas

Tamsintas regionas reiškia nurodytą nelygybių sistemą.

Nelygybė – DUK

Kas yra nelygybės samprata?

Nelygybės yra matematinės išraiškos, kuriose išraiškos LHS ir RHS yra nelygios.

Kokie yra nelygybės simboliai?

Nelygybių simboliai yra:>, <, ≥, ≤ ir ≠.

Kas yra pereinamoji nelygybių savybė?

Pereinamoji nelygybių savybė teigia, kad jei a, b, c yra trys skaičiai, tada

• Jei a> b ir b> c, tai a> c
• Jeigu
• Jei a ≥ b ir b ≥ c, tai a ≥ c
• Jei a ≤ b ir b ≤ c, tai a ≤ c