Implikacijos teiginys gali būti pateikiamas forma „jei....tada“. Simbolis ⇒ naudojamas implikacijai parodyti. Tarkime, kad yra du teiginiai, P ir Q. Šiuo atveju teiginį „jei P, tada Q“ taip pat galima parašyti kaip P ⇒ Q arba P → Q, ir jis bus skaitomas kaip „P reiškia Q“. Šioje implikacijoje teiginys P yra hipotezė, kuri taip pat žinoma kaip prielaida ir antecedentas, o teiginys Q yra išvada, kuri taip pat žinoma kaip pasekmė.
Potekstė taip pat vaidina svarbų vaidmenį loginiame argumente. Jei žinoma, kad teiginių implikacija yra teisinga, tada, kai įvykdoma prielaida, išvada taip pat turi būti teisinga. Dėl šios priežasties implikacija taip pat žinoma kaip sąlyginis teiginys.
Kai kurie pasekmių pavyzdžiai aprašyti taip:
kas yra const java
- „Jei GOA oras saulėtas, eisime į paplūdimį“.
- „Jeigu klubas turi nuolaidų sistemą, mes eisime į tą klubą“.
- „Jei einant į paplūdimį bus saulėta, mes būsime įdegę“.
Loginė implikacija gali būti išreikšta įvairiais būdais, kurie apibūdinami taip:
- Jei p, tada q
- Jei p, q
- q kai p
- Q tik tuo atveju, jei P
- q nebent ~p
- q, kai p
- p yra pakankama sąlyga q
- q sekite p
- p reiškia q
- Būtina p sąlyga yra q
- q jei p
- q būtinas p
- p yra būtina sąlyga q
Dabar aprašysime visų aukščiau aprašytų pasekmių pavyzdžius naudodami prielaidą P ir išvadą Q. Tam darysime prielaidą, kad P = saulėta ir Q = aš eisiu į paplūdimį.
P ⇒ K
- JEI saulėta, tada eisiu į paplūdimį
- Jei bus saulėta, eisiu į paplūdimį
- Aš eisiu į paplūdimį, KAI bus saulėta
- Į paplūdimį eisiu TIK saulėta
- Aš eisiu į paplūdimį, JEI nebus saulėta
- Aš eisiu į paplūdimį, KAI tik bus saulėta
- Saulėta YRA PAKAKANKA BŪKLĖS, važiuosiu į paplūdimį
- Eisiu į paplūdimį SEKO, kad saulėta
- Saulėta, tai reiškia, kad eisiu į paplūdimį
- BŪTINA SĄLYGA, KAD saulėta, aš eisiu į paplūdimį
- Eisiu į paplūdimį, JEI bus saulėta
- Eisiu į paplūdimį BŪTINA, nes saulėta
- Saulėta YRA BŪTINA SĄLYGA, DĖL eisiu į pliažą
Kai yra sąlyginis teiginys „jei p, tada q“, šis teiginys P ⇒ Q bus klaidingas, kai prielaida p yra teisinga, o išvada q yra klaidinga. Visais kitais atvejais tai reiškia, kad kai p yra klaidingas arba Q yra teisingas, teiginys P ⇒ Q bus teisingas. Šį teiginį galime pavaizduoti naudodami tiesos lentelę, kurioje klaidingas bus pavaizduotas F, o tiesa – T. Teiginio 'jei P, tada Q' tiesos lentelė aprašoma taip:
| P | K | P ⇒ q |
| T | T | T |
| T | F | F |
| F | T | T |
| F | F | T |
Nebūtina, kad prielaidos ir išvada būtų tarpusavyje susijusios. Remiantis P ir Q formuluote, tiesos lentelės interpretacija priklauso.
Pavyzdžiui:
- Jei Džekas pagamintas iš plastiko, tai vandenynas yra žalias.
- Teiginys: Džekas pagamintas iš plastiko
- Teiginys: Vandenynas yra žalias
Aukščiau pateikti du teiginiai neturi jokios prasmės, nes Džekas yra žmogus ir jis niekada negali būti pagamintas iš plastiko, o kitas teiginys „Okeanas yra žalias“ niekada neįvyks, nes vandenynas visada yra mėlynas, o vandenyno spalvos negali būti pakeistos. Kaip matome, abu teiginiai nesusiję vienas su kitu. Kita vertus, teiginio P ⇒ Q tiesos lentelė galioja. Taigi tai ne klausimas, ar tiesos lentelė teisinga, ar ne, o vaizduotės ir interpretacijos klausimas.
Taigi P ⇒ Q mums nereikia jokio ryšio tarp prielaidos ir pasekmės. Remiantis tikrąja P ir Q verte, priklauso tik jų reikšmė.
Šie teiginiai taip pat bus klaidingi, net jei laikysime abu teiginius mūsų pasauliui, taigi
False ⇒ False
Taigi, kai pažvelgsime į aukščiau pateiktą tiesos lentelę, pamatysime, kad kai P yra klaidingas, o Q yra klaidingas, tada P ⇒ Q yra tiesa.
Taigi, jei Jack yra pagamintas iš plastiko, vandenynas bus žalias.
Tačiau prielaida p ir išvada q bus susijusios, ir abu teiginiai turi prasmę.
Dviprasmiškumas
Numanomasis operatorius gali būti neaiškus. Taigi, kai naudojame imply operatorių (⇒), šiuo metu turėtume naudoti skliaustus.
Pavyzdžiui: Šiame pavyzdyje turime dviprasmišką teiginį P ⇒ Q ⇒ R. Dabar turime du dviprasmiškus teiginius ((P ⇒ Q) ⇒ R) arba (P ⇒ (Q ⇒ R)), ir turime parodyti, ar šie teiginiai yra panašūs ar ne.
Sprendimas: Tai įrodysime naudodamiesi tiesos lentele, kuri aprašyta taip:
| P | K | R | (P ⇒ Q) | (Q ⇒ R) | P ⇒ (Q ⇒ R) | (P ⇒ Q) ⇒ R |
|---|---|---|---|---|---|---|
| F | F | F | T | T | T | F |
| F | F | T | T | T | T | T |
| F | T | F | T | F | T | F |
| F | T | T | T | T | T | T |
| T | F | F | F | T | T | T |
| T | F | T | F | T | T | T |
| T | T | F | T | F | F | F |
| T | T | T | T | T | T | T |
Aukščiau pateiktoje tiesos lentelėje matome, kad P ⇒ (Q ⇒ R) ir (P ⇒ Q) ⇒ R tiesos lentelės nėra panašios. Taigi jie abu sukurs skirtingus rezultatus ar rezultatus.
Daugiau apie implikaciją
Dar keli pasekmių pavyzdžiai aprašyti taip:
- Jei bus saulėta, eisiu į mokyklą.
- Jei gausiu gerą darbą, tada užsidirbsiu pinigų.
- Jei gausiu gerus balus, tada mano tėvai bus patenkinti.
Visuose aukščiau pateiktuose pavyzdžiuose susipainiojame, nes nežinome, kada implikacija bus laikoma teisinga, o kada – klaidinga. Norėdami išspręsti šią problemą ir suprasti implikacijos sąvoką, naudosime hipotetinį pavyzdį. Šiame pavyzdyje darysime prielaidą, kad Marry žais badmintoną su savo vaikinu Džeku, o jo draugas Džekas nori šiek tiek motyvuoti Marry, todėl suvilioja ją teiginiu:
'If you win then I will buy a ring for you'
Šiuo teiginiu Džekas reiškia, kad jei vedęs laimės, akivaizdu, kad jis nusipirks žiedą. Šiuo pareiškimu Džekas įsipareigoja tik tada, kai Marry laimi. Jokiu būdu jis nieko nepadarė, kai Marija buvo laisva. Taigi rungtynių pabaigoje gali būti tik keturios galimybės, kurios apibūdinamos taip:
- Ištekėti laimi – nusipirk žiedą.
- Ištekėti laimi – nepirk žiedo.
- Ištekėti pralaimi – nusipirk žiedą.
- Ištekėti pralaimi – nepirk žiedo.
Tačiau Džekas nepateikė jokio pareiškimo, susijusio su taisykle (B). Savo pareiškime jis taip pat nepaminėjo taisyklių numerių (C) ir (D), taigi, jei Marry atsipalaidavo, Džekas turi nupirkti jai žiedą ar ne. Tiesą sakant, teiginiai (A), (C) ir (D) gali atsirasti kaip teiginio, kurį Džekas sako „Marry“, rezultatas, tačiau (B) nebus rezultatas. Jei įvyks rezultatas (B), tik tada Džekas bus pagautas meluojant. Visais kitais trimis atvejais, ty (A), (C) ir (D), jis pasakė tiesą.
Dabar mes naudosime paprastesnį teiginį, kad galėtume simboliškai apibrėžti Džeko teiginį taip:
P: you win Q: I will buy a ring for you
Šioje implikacijoje naudojame loginį simbolį ⇒, kuris gali būti skaitomas kaip „numano“. Mes sudarysime Džeko junginio teiginį, padėdami šią rodyklę iš P į Q taip:
P ⇒ Q: If you win, then I will buy a ring for you.
Apibendrinant, pastebėjome, kad implikacija bus klaidinga tik tada, kai P yra teisinga, o q yra klaidinga. Pagal šį pareiškimą Marry laimi žaidimą, bet, deja, Džekas neperka žiedo. Visais kitais atvejais / rezultatais teiginys bus teisingas. Atitinkamai, implikacijų tiesos lentelė aprašoma taip:
| P | K | P ⇒ Q |
|---|---|---|
| T | T | T |
| T | F | F |
| F | T | T |
| F | F | T |
Atitinkamų implikacijos loginių lygčių sąrašas aprašomas taip:
T → T = T T → F = F F → T = T F → F = T
Poveikio pavyzdžiai:
Yra įvairių pasekmių pavyzdžių, o kai kurie iš jų aprašyti taip:
1 pavyzdys: Tarkime, kad yra keturi teiginiai: P, Q, R ir S kur
P: Džekas mokosi mokykloje
Klausimas: Džekas moko
R: Džekas miega
S: Džekas serga
Dabar apibūdinsime keletą simbolinių teiginių, susijusių su šiais paprastais teiginiais.
- P → R
- S → ~P
- ~Q → (S ∧ R)
- (P ∨ R) → ~Q
- (~R ∧ ~S) → (Q ∨ ~P)
Čia turime parodyti šių simbolinių teiginių interpretavimo žodžiais vaizdavimą.
Sprendimas:
| P → R | Jei Džekas mokosi mokykloje, tada Džekas moko. |
| S → ~P | Jei Džekas serga, vadinasi, jis nelanko mokykloje. |
| ~Q → (S ∧ R) | Jei Džekas nemoko, vadinasi, jis serga ir miega. |
| (P ∨ R) → ~Q | Jei Džekas mokosi mokykloje arba miega, vadinasi, jis nemoko. |
| (~R ∧ ~S) → (Q ∨ ~P) | Jei Džekas nemiega ir neserga, vadinasi, jis moko arba ne mokykloje. |
2 pavyzdys: Šiame pavyzdyje turime implikaciją P → Q. Čia taip pat turime dar tris sudėtinius teiginius, kurie natūraliai susieti su šia implikacija, kuri yra priešinga, atvirkštinė ir atvirkštinė. Ryšys tarp visų šių keturių teiginių aprašomas lentelės pagalba, kuri apibūdinama taip:
| Potekstė | P → Q |
| Pasikalbėti | Q → P |
| Atvirkščiai | ~P → ~Q |
| Prieštaringas | ~Q → ~P |
Dabar panagrinėsime implikacijos pavyzdį, kuriame yra teiginys: „Jei gerai mokaisi, gausi gerus balus“. Šis teiginys yra formos P → Q, kur
P: gerai mokaisi
Kl.: gauni gerus balus
Dabar naudosime P ir Q teiginius ir parodysime keturis susijusius teiginius, tokius kaip:
Potekstė: Jei gerai mokaisi, gauni gerus balus.
Pasikalbėti: Jei gauni gerus pažymius, gerai mokaisi.
Atvirkščiai: Jei gerai mokaisi, negauni gerų pažymių.
Prieštaringas: Jei negauni gerų pažymių, blogai mokaisi.
Visų aukščiau pateiktų susijusių teiginių tiesos reikšmės aprašomos tiesos lentelės pagalba, kuri aprašoma taip
| P | K | ~P | ~Q | P → Q | Q → P | ~P → ~Q | ~Q → ~P |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| T | T | F | F | T | T | T | T |
| T | F | F | T | F | T | T | F |
| F | T | T | F | T | F | F | T |
| F | F | T | T | T | T | T | T |
Aukščiau pateiktoje lentelėje matome, kad implikacija (P → Q) ir jos priešprieša (~Q → ~P) savo stulpeliuose turi tą pačią reikšmę. Tai reiškia, kad jie abu yra lygiaverčiai. Taigi galime pasakyti, kad:
P → Q = ~Q → ~P
Panašiai matome, kad atvirkštinė ir atvirkštinė reikšmė stulpeliuose yra panaši. Tačiau tai neturės jokios įtakos, nes atvirkštinė yra priešinga priešingybė. Panašiai pirminė implikacija gali kilti iš prieštaringo teigiamo. (Tai reiškia, kad jei paneigsime P ir Q, tada pakeisime rodyklės kryptį, o po to dar kartą pakartosime procesą, tai reiškia, kad paneigiame ~P ir ~Q ir vėl pakeisime rodyklės kryptį, šiuo atveju gausime atgal ten, kur pradėjome).