Šiame straipsnyje mes nagrinėsime Furjė transformacijos analizę arba Furjė transformaciją grandinės analizėje. Furjė transformacija iš esmės yra matematinė operacija, kuri suskaido signalą į jo sudedamąsias dažnio dalis. Paprastais žodžiais tariant, jis konvertuoja signalą iš laiko srities į dažnio sritį. Laiko sritis parodys signalą kaip laiko funkciją, o dažnio sritis – signalą kaip dažnio funkciją.

Furjė transformacija

Furjė transformacija yra nuostabus galingas įrankis analizuojant įvairių tipų grandinių elgesį, nes leidžia pamatyti, kaip grandinė reaguoja skirtingais dažniais. Tai naudinga atliekant įvairias užduotis, tokias kaip:

• Grandinės atsako į savavališkus įvesties signalus analizė: Tai gali būti lengvai naudojama kuriant grandines, galinčias valdyti daugybę įvesties signalų, pvz., garso ar vaizdo signalų.
• Grandinės rezonansinių dažnių nustatymas: Rezonansiniai dažniai yra dažniai, kuriais grandinė sustiprins signalus. Ši informacija gali būti naudojama kuriant grandines, kurios turėtų veikti tam tikrais dažniais, pavyzdžiui, kaip filtrai ar generatoriai.
• Filtrų, skirtų pašalinti nepageidaujamus dažnio komponentus iš signalo, projektavimas: Filtrai dažniausiai gali būti naudojami norint pašalinti signalo triukšmą ar trukdžius arba išgauti tam tikrus dažnio komponentus iš konkretaus signalo.
• Grandinės stabilumo supratimas: Stabili grandinė yra tokia, kuri paprasčiausiai nesvyruos ar nesiskirs. Furjė transformacija gali būti naudojama grandinės stabilumui analizuoti, tiesiog žiūrint į grandinės dažnio atsaką.

Furjė transformacija taip pat naudojama daugelyje kitų sričių, įskaitant signalų apdorojimą, vaizdo apdorojimą ir kvantinę mechaniką.

Šiame straipsnyje aptarsime šias temas, susijusias su Furjė transformacija grandinės analizėje:

• Furjė transformacijų tipai
• Furjė transformacijos savybės
• Furjė transformacijos taikymas grandinių analizėje

Taip pat aptarsime pavyzdžius ir iliustracijas, kurios padės tinkamai suprasti sąvokas.

Evoliucijos priežasties supratimas

Furjė transformaciją pirmasis sukūrė gerai žinomas prancūzų matematikas Jeanas-Baptiste'as Josephas Furjė XIX amžiaus pradžioje. Jis buvo labai suinteresuotas išspręsti šilumos laidumo lygtį, kuri yra dalinė diferencialinė lygtis. Furjė suprato, kad jis gali išspręsti lygtį tiesiog išskaidydamas pradinį temperatūros pasiskirstymą į jo sudedamąsias sinusus ir kosinuso bangas.

Furjė transformacija nuo to laiko buvo taikoma daugeliui fizikos ir inžinerijos problemų, įskaitant grandinės analizę. Grandinės analizėje Furjė transformacija gali būti naudojama grandinės atsakui į savavališkus įvesties signalus analizuoti.

Furjė transformacijos efektai

Furjė transformacija turi daug svarbių poveikių grandinės analizei. Pirmiausia tai leidžia mums analizuoti grandinės reakciją į savavališkus įvesties signalus. Antra, tai leidžia mums nustatyti grandinės rezonansinius dažnius. Po to, trečia, tai leidžia mums sukurti filtrus, naudojamus pašalinti nepageidaujamus dažnio komponentus iš signalo.

Furjė transformacijos formulė

Signalo x(t) Furjė transformacija žymima X(f) ir apibrėžiama taip:

X(f) = int_{-infty}^{infty} x(t) e^{-j2pi ft} dt>

Čia f yra dažnis hercų parametre.

Furjė transformacijos formulėje naudojamas žymėjimas:

• x(t) yra laiko srities signalas.
• X(f) yra dažnio srities signalas.
• j yra įsivaizduojamas vienetas.
• e −j2πft yra sudėtinga eksponentinė funkcija.

Furjė transformacijos tipai

Iš esmės yra dviejų tipų Furjė transformacijos:

• Nepertraukiama Furjė transformacija (CFT)
• Diskretinė Furjė transformacija (DFT) .

Nepertraukiamas Furjė transformavimas (CFT)

CFT yra apibrėžtas nuolatinio laiko signalams, kurie iš esmės yra signalai, kurie bet kuriuo metu gali įgyti bet kokią reikšmę.

Signalo x(t) nuolatinė Furjė transformacija (CFT) gali būti apibrėžta taip:

X(f) = int_{-infty}^{infty} x(t) e^{-j2pi ft} dt>

kur f yra dažnis hercais.

CFT formulėje naudojamas žymėjimas:

• x(t) yra laiko srities signalas.
• X(f) yra dažnio srities signalas.
• j yra įsivaizduojamas vienetas.
• e −j2πft yra kompleksinė eksponentinė funkcija.

CFT išvedimas

CFT galima lengvai gauti iš periodinio signalo Furjė serijos. Periodinio signalo x(t) su periodu T Furjė eilutė gaunama taip:

x(t) = sum_{n=-infty}^{infty} c_n e^{j2pi nfrac{t}{T}}>

čia Cn yra signalo Furjė koeficientai.

CFT galima gauti tiesiog paėmus Furjė eilutės ribą, kai periodas T artėja prie begalybės. Šioje riboje Furjė koeficientai tampa nuolatinėmis dažnio funkcijomis, o Furjė serija tampa CFT.

Diskretinė Furjė transformacija (DFT)

DFT yra apibrėžtas diskretiesiems laiko signalams, ty signalams, kurie gali įgyti tik tam tikras vertes tam tikru tam tikru laiku.

Diskretaus laiko signalo x[n] diskrečiąją Furjė transformaciją (DFT) galima apibrėžti taip:

X[k] = sum_{n=0}^{N-1} x[n] e^{-j2pi kn/N}>

Čia k yra dažnio indeksas, o N yra konkretaus signalo signalo ilgis.

DFT formulėje naudojamas žymėjimas:

duomenų bazėje

• x[n] yra diskretinio laiko signalas.
• X[k] yra dažnio srities signalas.
• j yra įsivaizduojamas vienetas.
• e −j2πkn/N
• yra sudėtinga eksponentinė funkcija.

DFT išvedimas

Paprastais žodžiais tariant, CFT iš esmės apibrėžiamas nuolatinio laiko signalai , o DFT yra apibrėžtas diskretinio laiko signalai . DFT dažniausiai naudojamas Furjė transformacijos tipas grandinių analizėje, kaip ir dauguma elektroninių grandinių, veikiančių diskretiškais laiko signalais.

Diskretaus laiko signalo x[n] DFT žymimas X[k] ir apibrėžiamas taip:

X[k] = sum_{n=0}^{N-1} x[n] e^{-j2pi kn/N}>

Čia k yra dažnio indeksas, o N yra signalo ilgis.

DFT galima gauti iš CFT, paprasčiausiai atimant CFT diskrečius dažnius:

X[k] = X(f = k/N)>

Furjė transformacijos su diagrama pavyzdžiai

Panagrinėkime toliau pateiktą grandinės pavyzdį:

Paprasta RC grandinė

Čia grandinės įvestis yra kvadratinė banga, o išėjimas yra filtruota kvadratinė banga. Įvesties kvadratinės bangos Furjė transformacija yra harmoninių dažnių impulsų serija. Išėjimo kvadratinės bangos Furjė transformacija yra susilpnėjusių impulsų serija harmoniniuose dažniuose.

Čia yra ši diagrama, kurioje parodytos įvesties ir išvesties signalų Furjė transformacijos:

Furjė transformacijos įvesties išvestis

Savybės

Furjė transformacija turi keletą svarbių savybių, įskaitant:

• Realaus signalo Furjė transformacija yra konjuguota simetriška.
• Tiesinės signalų kombinacijos Furjė transformacija yra atskirų signalų Furjė transformacijų linijinis derinys.
• Laiko poslinkio signalo Furjė transformacija yra dažnio poslinkio signalas.
• Dažnio poslinkio signalo Furjė transformacija yra laiko poslinkis signalas.

Charakteristikos

Furjė signalo transformacija turi šias charakteristikas:

• Signalo Furjė transformacijos dydis parodo signalo dažnio komponentų amplitudę.
• Signalo Furjė transformacijos fazė reiškia signalo dažnio komponentų fazę.

Programos

Furjė transformacija turi daugybę programų grandinės analizėje, įskaitant:

• Analizuojant pateiktą grandinės atsaką į savavališkus įvesties signalus.
• Grandinės rezonansinių dažnių nustatymas.
• Filtrų, skirtų pašalinti nepageidaujamus dažnio komponentus iš signalo, projektavimas.

Privalumai ir trūkumai

Kai kurie Furjė transformacijos pranašumai ir trūkumai yra šie:

string.yra java

Privalumai:

• Furjė transformacija yra galingiausias įrankis grandinių dažnio atsakui analizuoti.
• Jis gali būti naudojamas kuriant filtrus, pašalinančius nepageidaujamus dažnio komponentus iš signalo.

Trūkumai:

• Furjė transformaciją suprasti ir naudoti taip pat gali būti daug sudėtingiau.
• Furjė transformaciją apskaičiuoti gali būti brangiau.

Skirtumas tarp Laplaso transformacijos ir Furjė transformacijos

Iš esmės Furjė transformacija dažniausiai yra panaši į Laplaso transformaciją, tačiau yra keletas pagrindinių skirtumų. Jei Furjė transformacija yra apibrėžta nuolatinio laiko signalams, tai reiškia, kad Laplaso transformacija yra apibrėžta tiek nuolatinio, tiek diskretiško laiko signalams. Be to, Furjė transformacija nėra tinkama trumpalaikiams signalams analizuoti, o Laplaso transformacija yra naudinga.

Pirminė ir atvirkštinė Furjė transformacija

Išankstinė Furjė transformacija gali konvertuoti signalą iš laiko srities į dažnio sritį. Atvirkštinė Furjė transformacija turėtų konvertuoti signalą iš dažnio srities į laiko sritį.

Atvirkštinė Furjė transformacija apibrėžiama taip:

x(t) = int_{-infty}^{infty} X(f) e^{j2pi ft} df>

Pirminė sinuso transformacija ir Furjė kosinuso transformacija

Priekinė sinuso transformacija ir tiesioginė kosinuso transformacija iš esmės yra du Furjė transformacijos variantai. Priekinė sinuso transformacija apibrėžiama taip:

S(f) = int_{-infty}^{infty} x(t) sin(2pi ft) dt>

Išankstinė kosinuso transformacija apibrėžiama taip:

C(f) = int_{-infty}^{infty} x(t) cos(2pi ft) dt>

Tiesioginė sinuso transformacija ir tiesioginė kosinuso transformacija yra labai naudingos analizuojant signalus su lygia ir nelygine simetrija.

Išvada

Apskritai Furjė transformacija yra svarbiausia grandinės analizės priemonė. Tai suteikia mums leidimą suprasti, kaip grandinės reaguoja į skirtingus dažnius, o tai yra svarbiau projektuojant ir analizuojant elektronines grandines. Furjė transformacija grandinės analizėje taikoma įvairiais būdais, įskaitant grandinės atsako į savavališkus įvesties signalus analizę, tam tikros grandinės rezonansinių dažnių nustatymą, filtrų, pašalinančių iš signalo nepageidaujamus dažnio komponentus, projektavimą ir signalo stabilumo supratimą. grandinė.

Furjė transformacija taip pat naudojama daugelyje kitų sričių, įskaitant signalų apdorojimą, vaizdo apdorojimą ir kvantinę mechaniką. Tai labai universalus ir galingas įrankis, turintis platų pritaikymo spektrą.

Štai keletas papildomų dėmesingų minčių apie Furjė transformacijos svarbą grandinės analizėje:

kolekcija java

• Furjė transformacija tiesiog leidžia analizuoti tiesines ir netiesines grandines.
• Furjė transformacija gali būti naudojama analizuojant įvairių tipų grandines laiko arba dažnio srityje.
• Furjė transformaciją galima naudoti analizuojant grandines su keliais įėjimais ir išėjimais.
• Furjė transformacija gali būti naudojama analizuoti grandines su grįžtamojo ryšio kilpomis.

Furjė transformacija yra galingas įrankis, kurį galima naudoti įvairioms grandinės problemoms analizuoti. Tai būtinas įrankis bet kuriam grandinės inžinieriui.

Dažnai užduodami klausimai

1. Kuo skiriasi Furjė transformacija ir Laplaso transformacija?

Laplasas naudojamas ir CFT, ir DFT, bet ne Furjė transformacijai

2. Kodėl Furjė transformacija svarbi grandinės analizėje?

Furjė transformacija yra svarbesnė grandinių analizėje vien todėl, kad leidžia analizuoti grandinių dažnio atsaką. Dažnio atsakas

3. Kokie yra Furjė transformacijos pritaikymai grandinių analizėje?

Furjė transformacija gali būti naudojama įvairioms grandinės analizės užduotims, tokioms kaip:

Grandinės reakcijos į savavališkus įvesties signalus analizė.

Grandinės rezonansinių dažnių nustatymas.

Filtrų, skirtų pašalinti nepageidaujamus dažnio komponentus iš signalo, projektavimas.

Grandinės stabilumo supratimas.