Būtinos sąlygos: BIT Atsižvelgiant į „n“ linijų atkarpas, kiekvienas iš jų yra horizontalus arba vertikalus, suraskite didžiausią trikampių skaičių (įskaitant trikampius su nuliniu plotu), kurį galima sudaryti sujungiant linijos atkarpų susikirtimo taškus. Dviejų horizontalių linijų atkarpų nesutampa ir nėra dviejų vertikalių linijų segmentų. Tiesė vaizduojama naudojant du taškus (keturi sveikieji skaičiai, pirmieji du yra atitinkamai pirmojo taško x ir y koordinatės, o kiti du yra antrojo taško x ir y koordinatės) Pavyzdžiai:
| ---|-------|-- | | ----- | --|--|- | | | | For the above line segments there are four points of intersection between vertical and horizontal lines every three out of which form a triangle so there can be 4C3 triangles.
Idėja remiasi Sweep Line algoritmas . Sprendimo kūrimas etapais:
- Išsaugokite abu visų linijų atkarpų taškus su atitinkamu įvykiu (aprašytas toliau) vektoriuje ir surūšiuokite visus taškus nemažėjančia jų x koordinačių tvarka.
- Įsivaizduokime vertikalią liniją, kurią nubraukiame per visus šiuos taškus, ir apibūdinkime 3 įvykius pagal tai, kuriame taške šiuo metu esame:
- a vertikali linija
- Mes vadiname regionu 'aktyvus' arba horizontalias linijas 'aktyvus' kurie turėjo pirmąjį įvykį, bet ne antrąjį. Turėsime BIT (dvejetainį indeksuotą medį), kad išsaugotume visų aktyvių linijų „y“ koordinates.
- Kai eilutė tampa neaktyvi, pašaliname jos „y“ iš BIT.
- Kai įvyksta trečiojo tipo įvykis, tai yra, kai esame ties vertikalia linija, užklausiame medį jo „y“ koordinačių diapazone ir pridedame rezultatą prie susikirtimo taškų skaičiaus.
- Galiausiai turėsime pasakyti sankirtos taškų skaičių m tada trikampių skaičius (įskaitant nulinį plotą) bus mC3 .
in - kairysis horizontalios linijos atkarpos taškasišeiti - dešiniausias horizontalios linijos atkarpos taškasPastaba: Turime atidžiai rūšiuoti taškus cmp () funkcija įgyvendinant paaiškinimą.
CPP// A C++ implementation of the above idea #include
#define maxy 1000005 #define maxn 10005 using namespace std; // structure to store point struct point { int x y; point(int a int b) { x = a y = b; } }; // Note: Global arrays are initially zero // array to store BIT and vector to store // the points and their corresponding event number // in the second field of the pair int bit[maxy]; vector<pair<point int> > events; // compare function to sort in order of non-decreasing // x coordinate and if x coordinates are same then // order on the basis of events on the points bool cmp(pair<point int> &a pair<point int> &b) { if ( a.first.x != b.first.x ) return a.first.x < b.first.x; //if the x coordinates are same else { // both points are of the same vertical line if (a.second == 3 && b.second == 3) { return true; } // if an 'in' event occurs before 'vertical' // line event for the same x coordinate else if (a.second == 1 && b.second == 3) { return true; } // if a 'vertical' line comes before an 'in' // event for the same x coordinate swap them else if (a.second == 3 && b.second == 1) { return false; } // if an 'out' event occurs before a 'vertical' // line event for the same x coordinate swap. else if (a.second == 2 && b.second == 3) { return false; } //in all other situations return true; } } // update(y 1) inserts a horizontal line at y coordinate // in an active region while update(y -1) removes it void update(int idx int val) { while (idx < maxn) { bit[idx] += val; idx += idx & (-idx); } } // returns the number of lines in active region whose y // coordinate is between 1 and idx int query(int idx) { int res = 0; while (idx > 0) { res += bit[idx]; idx -= idx & (-idx); } return res; } // inserts a line segment void insertLine(point a point b) { // if it is a horizontal line if (a.y == b.y) { int beg = min(a.x b.x); int end = max(a.x b.x); // the second field in the pair is the event number events.push_back(make_pair(point(beg a.y) 1)); events.push_back(make_pair(point(end a.y) 2)); } //if it is a vertical line else { int up = max(b.y a.y); int low = min(b.y a.y); //the second field of the pair is the event number events.push_back(make_pair(point(a.x up) 3)); events.push_back(make_pair(point(a.x low) 3)); } } // returns the number of intersection points between all // the lines vertical and horizontal to be run after the // points have been sorted using the cmp() function int findIntersectionPoints() { int intersection_pts = 0; for (int i = 0 ; i < events.size() ; i++) { //if the current point is on an 'in' event if (events[i].second == 1) { //insert the 'y' coordinate in the active region update(events[i].first.y 1); } // if current point is on an 'out' event else if (events[i].second == 2) { // remove the 'y' coordinate from the active region update(events[i].first.y -1); } // if the current point is on a 'vertical' line else { // find the range to be queried int low = events[i++].first.y; int up = events[i].first.y; intersection_pts += query(up) - query(low); } } return intersection_pts; } // returns (intersection_pts)C3 int findNumberOfTriangles() { int pts = findIntersectionPoints(); if ( pts >= 3 ) return ( pts * (pts - 1) * (pts - 2) ) / 6; else return 0; } // driver code int main() { insertLine(point(2 1) point(2 9)); insertLine(point(1 7) point(6 7)); insertLine(point(5 2) point(5 8)); insertLine(point(3 4) point(6 4)); insertLine(point(4 3) point(4 5)); insertLine(point(7 6) point(9 6)); insertLine(point(8 2) point(8 5)); // sort the points based on x coordinate // and event they are on sort(events.begin() events.end() cmp); cout << "Number of triangles are: " << findNumberOfTriangles() << "n"; return 0; } Išvestis:
Java inicijavimo masyvas
Number of triangles are: 4
Time Complexity: O( n * log(n) + n * log(maximum_y) )
Pagalbinė erdvė: O (maks.), kur maksi = 1000005