Jei studijuojate trigą ar skaičiavimą arba ruošiatės tam, turėsite susipažinti su vienetų ratu. Vieneto ratas yra esminis įrankis, naudojamas sprendžiant kampo sinusus, kosinusus ir liestinę. Bet kaip tai veikia? O kokią informaciją reikia žinoti norint ja naudotis?

Šiame straipsnyje paaiškiname, kas yra vieneto ratas ir kodėl turėtumėte jį žinoti. Taip pat pateikiame tris patarimus, kurie padės prisiminti, kaip naudoti vienetų ratą.

Funkcijos vaizdas: Gustavbas /Wikimedia

Vieneto ratas: pagrindinis įvadas

Vienetinis apskritimas yra apskritimas, kurio spindulys yra 1. Tai reiškia, kad bet kuriai tiesei linijai, nubrėžtai nuo apskritimo centro taško iki bet kurio taško išilgai apskritimo krašto, tos linijos ilgis visada bus lygus 1. (Tai taip pat reiškia, kad apskritimo skersmuo bus lygus 2, nes skersmuo yra lygus dvigubam spindulio ilgiui.)

Paprastai vieneto apskritimo centras yra ta vieta, kur susikerta x ašis ir y ašis arba koordinatėse (0, 0):

Vieneto apskritimas arba trigubo apskritimas, kaip jis taip pat žinomas, naudinga žinoti, nes tai leidžia lengvai apskaičiuoti bet kurio kampo tarp 0° ir 360° (arba 0 ir 2π radianų) kosinusą, sinusą ir tangentą.

Kaip matote aukščiau pateiktoje diagramoje, nubrėžę spindulį bet kokiu kampu (vaizde pažymėtu ∝), sukursite stačiakampį trikampį. Šiame trikampyje kosinusas yra horizontali linija, o sinusas yra vertikali linija. Kitaip tariant, kosinusas =x-koordinatė ir sinusas = y koordinatė. (Ilgiausia trikampio linija arba hipotenuzė yra spindulys, todėl lygi 1.)

nuo griežto iki tarpt

Kodėl visa tai svarbu? Atminkite, kad trikampio kraštinių ilgius galite išspręsti naudodami Pitagoro teorema arba $a^2+b^2=c^2$ (kuriame a ir b yra trikampio kraštinių ilgiai ir c yra hipotenuzės ilgis).

Žinome, kad kampo kosinusas lygus horizontalios linijos ilgiui, sinusas – vertikalios linijos ilgiui, o hipotenuzė – 1. Todėl galime sakyti, kad bet kurio stačiojo trikampio vienetiniame apskritime formulė yra tokia:

$$cos^2θ+sin^2θ=1^2$$

Kadangi ^2=1$, šią lygtį galime supaprastinti taip:

$$cos^2θ+sin^2θ=1$$

Žinokite, kad šios reikšmės gali būti neigiamos priklausomai nuo susidariusio kampo ir į kokį kvadrantą patenka x ir y koordinatės (tai plačiau paaiškinsiu vėliau).

Čia pateikiama visų pagrindinių vieneto apskritimo kampų apžvalga laipsniais ir radianais:

Vieneto ratas – laipsniai

Vieneto ratas – radianai

Bet ką daryti, jei nėra suformuotas trikampis? Pažiūrėkime kas atsitinka, kai kampas yra 0°, sukuriant horizontalią tiesią liniją išilgai x ašies:

Šioje tiesėje x koordinatė lygi 1, o y koordinatė lygi 0. Mes žinome, kad kosinusas lygus x koordinatei, o sinusas lygus y koordinatei, kad galėtume parašyti štai ką:

• $cos0°=1$
• $sin0°=0$

Kas, jeigu kampas yra 90° ir sudaro visiškai vertikalią liniją išilgai y ašies?

Čia matome, kad x koordinatė lygi 0, o y koordinatė lygi 1. Taip gaunamos šios sinuso ir kosinuso reikšmės:

• $cos90°=0$
• $sin90°=1$

Šis šūkis tikrai tinka, jei nesate matematikos mėgėjas.

Kodėl turėtumėte žinoti vienetų ratą

Kaip minėta aukščiau, vienetų ratas yra naudingas, nes tai leidžia mums lengvai išspręsti bet kurio laipsnio ar radiano sinusą, kosinusą arba liestinę. Ypač naudinga žinoti vienetų apskritimo diagramą, jei jums reikia išspręsti tam tikras matematikos namų darbų trigubas arba jei ruošiatės mokytis skaičiavimo.

Bet kaip tiksliai žinant vieneto ratą gali padėti? Tarkime, kad matematikos įskaitoje jums pateikiama ši užduotis ir yra ne Jai išspręsti leidžiama naudoti skaičiuotuvą:

$$sin30°$$

Nuo ko pradėti? Dar kartą pažvelkime į vieneto apskritimo diagramą – šį kartą su visais pagrindiniais kampais (ir laipsniais, ir radianais) ir atitinkamomis jų koordinatėmis:

Džimas.belkas /Wikimedia

Nepersistenkite! Atminkite, kad viskas, ką sprendžiate, yra $sin30°$. Žvelgdami į šią diagramą galime tai pamatyti y koordinatė yra lygi $ 1/2 $ 30° kampu. Ir kadangi y koordinatė lygi sinusui, mūsų atsakymas yra toks:

$$sin30°=1/2$$

Bet ką daryti, jei kyla problema, kai vietoj laipsnių naudojami radianai? Jo sprendimo procesas išlieka tas pats. Pavyzdžiui, pasakykite, kad gaunate problemą, kuri atrodo taip:

$$cos{{3π}/4}$$

Vėlgi, naudojant aukščiau pateiktą diagramą, matome, kad ${3π}/4$ (kuris yra lygus 135°) x koordinatė (arba kosinusas) yra $-{√2}/2$. Štai kaip tada atrodytų mūsų atsakymas į šią problemą:

$$cos({3π}/4)=-{√2}/2$$

Visa tai yra gana paprasta, jei turite aukščiau pateiktą vieneto apskritimo diagramą, kurią galite naudoti kaip nuorodą. Tačiau dažniausiai (jei ne visą laiką) taip nebus, ir jūs turėsite atsakyti į tokius matematikos klausimus naudodami tik savo smegenis.

Taigi, kaip galite prisiminti vieneto ratą? Perskaitykite mūsų geriausius patarimus!

Kaip atsiminti vienetų ratą: 3 pagrindiniai patarimai

Šiame skyriuje pateikiame svarbiausius patarimus, kaip atsiminti trigerio ratą, kad galėtumėte lengvai jį naudoti bet kokiai matematikos problemai, kuriai to reikia.

Nerekomenduočiau praktikuoti vieneto rato su post-its, bet, ei, tai pradžia.

1: įsiminkite bendruosius kampus ir koordinates

Norint efektyviai naudoti vieneto ratą, jums reikės įsiminti dažniausiai pasitaikančius kampus (ir laipsniais, ir radianais), taip pat juos atitinkančias x ir y koordinates.

Aukščiau pateikta diagrama yra naudinga vienetinė apskritimo diagrama, kurią reikia peržiūrėti, nes joje yra visi pagrindiniai kampai laipsniais ir radianais, be atitinkamų koordinačių taškų išilgai x ir y ašių.

Čia yra diagrama, kurioje ta pati informacija pateikiama lentelės pavidalu:

Dabar, nors jums daugiau nei malonu pabandyti įsiminti visas šias koordinates ir kampus, tai yra daug dalykų, kuriuos reikia prisiminti.

Laimei, yra gudrybė, kurią galite panaudoti, kad padėtumėte prisiminti svarbiausias vieneto apskritimo dalis.

Pažvelkite į aukščiau pateiktas koordinates ir pastebėsite aiškų modelį: visi taškai (išskyrus esančius 0°, 90°, 270° ir 360°) kaitaliokite tik tris vertes (teigiamas arba neigiamas):

• /2$
• ${√2}/2$
• ${√3}/2$

Kiekviena reikšmė atitinka trumpa, vidutinė arba ilga kosinuso ir sinuso eilutė:

Štai ką reiškia šie ilgiai:

Trumpa horizontali arba vertikali linija= /2$ Vidutinė horizontali arba vertikali linija= ${√2}/2$ Ilga horizontali arba vertikali linija= ${√3}/2$

Pavyzdžiui, jei bandote išspręsti $cos{π/3}$, turėtumėte iš karto žinoti, kad šis kampas (kuris yra lygus 60°) rodo trumpa horizontali linija vieneto apskritime. Todėl, jos atitinkama x koordinatė turi būti lygi /2$ (teigiama reikšmė, nes $π/3$ sukuria tašką pirmame koordinačių sistemos kvadrante).

Galiausiai, nors naudinga įsiminti visus aukščiau esančios lentelės kampus, atkreipkite dėmesį į tai bene svarbiausi aspektai, kuriuos reikia atsiminti, yra šie:

• 30° / $p / 6 $
• 45° / $p/4$
• 60° / $p/3$

Su negatyvais ir teigiamais elkitės taip, kaip elgtumėtės su kabeliais, kurie gali jus nužudyti, jei bus neteisingai prijungti.

2: sužinokite, kas yra neigiama ir kas yra teigiama

Labai svarbu mokėti atskirti teigiamas ir neigiamas x ir y koordinates, kad rastumėte tinkamą suaktyvinimo problemos reikšmę. Kaip priminėjas, Į priklauso nuo to, ar vieneto apskritimo koordinatė bus teigiama ar neigiama į kurį kvadrantą (I, II, III ar IV) taškas patenka:

Čia yra diagrama, rodanti, ar koordinatė bus teigiama, ar neigiama, atsižvelgiant į kvadrantą, kuriame yra tam tikras kampas (laipsniais arba radianais):

Pvz., Tarkime, kad matematikos teste jums pateikta ši problema:

$$cos210°$$

Prieš net bandydami jį išspręsti, turėtumėte suprasti, kad atsakymas bus neigiamas skaičius kadangi kampas 210° patenka į III kvadrantą (kur yra x koordinatės visada neigiamas).

Dabar, naudodami gudrybę, kurią išmokome 1 patarime, galite suprasti, kad 210° kampas sukuria ilga horizontali linija. Todėl mūsų atsakymas yra toks:

$$cos210°=-{√3}/2$$

# 3: žinokite, kaip išspręsti tangentą

Galiausiai, labai svarbu žinoti, kaip panaudoti visą šią informaciją apie trigerio apskritimą, sinusą ir kosinusą, kad būtų galima išspręskite kampo liestinę.

Trig, norėdami rasti kampo θ liestinę (laipsniais arba radianais), tiesiog padalykite sinusą iš kosinuso:

$$ anθ={sinθ}/{cosθ}$$

Pavyzdžiui, pasakykite, kad bandote atsakyti į šią problemą:

$$ an300°$$

Pirmiausia reikia nustatyti sinuso ir kosinuso lygtį:

$$ an300°={sin300°}/{cos300°}$$

Dabar, norėdami išspręsti liestinę, turime rasti sinusą ir 300° kosinusas. Turėtumėte greitai atpažinti, kad 300° kampas patenka į ketvirtąjį kvadrantą, tai reiškia kosinusas arba x koordinatė bus teigiamas, o sinusas arba y koordinatė bus neigiamas.

Taip pat turėtumėte iš karto tai žinoti susidaro 300° kampas trumpa horizontali linija ir ilga vertikali linija. Todėl kosinusas (horizontali linija) bus lygus /2$, o sinusas (vertikali linija) bus lygus $-{√3}/2$ (neigiama y reikšmė, nes šis taškas yra IV kvadrante) .

Dabar, norėdami rasti liestinę, viskas, ką jums reikia padaryti, tai prijungti ir išspręsti:

$$ an300°={-{√3}/2}/{1/2}$$

$$ an300°=-√3$$

Laikas lavinti savo matematikos įgūdžius!

Vieneto rato praktikos klausimų rinkinys

Dabar, kai žinote, kaip atrodo vienetų ratas ir kaip jį naudoti, išbandykime, ką išmokote, atlikdami keletą praktinių problemų.

Klausimai

1. $sin45°$
2. $cos240°$
3. $cos{5π}/3$
4. $ an{2π}/3$

Atsakymai

1. ${√2}/2$
2. $-1/2$
3. /2$
4. $-√3 $

Atsakymų paaiškinimai

1: $sin45°$

Dėl šios problemos iš karto turėtumėte nustatyti dvi informacijos dalis:

Atsakymas bus teigiamas,kadangi kampas 45° yra I kvadrante, o kampo sinusas lygus y koordinatei

• 45° kampas sukuria vidutinio ilgio vertikali linija (jų)

Kadangi 45° rodo teigiamą, vidutinio ilgio liniją, teisingas atsakymas yra ${√2}/2$.

Jei nesate tikri, kaip tai išsiaiškinti, nubraižykite diagramą, kuri padės nustatyti, ar linijos ilgis bus trumpas, vidutinis ar ilgas.

2: $cos240°$

Kaip ir aukščiau esanti 1 problema, yra dvi informacijos dalys, kurias turėtumėte sugebėti greitai suvokti, kai susiduriate su šia problema:

Atsakymas bus neigiamas,kadangi kampas 240° yra III kvadrante, o kampo kosinusas lygus x koordinatei

• Sukuria 240° kampas trumpa horizontali linija (kosinusui)

Kadangi 240° rodo neigiamą trumpą liniją, teisingas atsakymas yra $-1/2$.

3: $cos{5π}/3$

Skirtingai nuo pirmiau minėtų problemų, ši problema naudojama radianų vietoj laipsnių. Nors dėl to problema gali atrodyti sudėtingiau, iš tikrųjų ji atlieka tuos pačius pagrindinius veiksmus, kaip ir kitos dvi problemos.

Pirma, turėtumėte pripažinti, kad kampas ${5π}/3$ yra IV kvadrante, todėl x koordinatė arba kosinusas bus teigiamas skaičius. Taip pat turėtumėte mokėti tai pasakyti${5π}/3$kuria trumpa horizontali linija.

Tai suteikia pakankamai informacijos, kad galėtumėte tai nustatyti į atsakymas yra /2$.

4: $ an{2π}/3$

Ši problema susijusi su tangentu, o ne sinusu arba kosinusu, o tai reiškia, kad mums reikės šiek tiek daugiau matematikos. Pirmiausia prisiminkite Pagrindinė tangento nustatymo formulė:

$$ an θ={sin θ}/{cos θ}$$

Dabar paimkime mums suteiktą laipsnį – ${2π}/3$ir prijunkite jį prie šios lygties:

$$ an {2π}/3={sin {2π}/3}/{cos {2π}/3}$$

Dabar turėtumėte sugebėti atskirai spręsti sinusus ir kosinusus naudodami tai, ką įsiminėte apie vieneto apskritimą. Kadangi kampas ${2π}/3$ yra II kvadrante, x koordinatė (arba kosinusas) bus neigiama, o y koordinatė (arba sinusas) bus teigiama.

Tada turėtumėte sugebėti nustatyti tik pagal kampą, kuriuo yra horizontali linija trumpa linija, o vertikali linija yra ilga eilė. Tai reiškia, kad kosinusas lygus $-1/2$, o sinusas lygus ${√3}/2$.

Dabar, kai išsiaiškinome šias reikšmes, tereikia jas įtraukti į pradinę lygtį ir išspręsti liestinę:

$$ an {2π}/3={{√3}/2}/{-1/2}$$

$$ an {2π}/3=-√3$$

Kas toliau?

Jei netrukus atliksite SAT arba ACT, turėsite žinoti kai kuriuos veiksnius, kad galėtumėte gerai atlikti matematikos skyrių. Pažvelkite į mūsų ekspertų vadovus, kad suaktyvintumėte SAT ir ACT, kad sužinotumėte, ką tiksliai turėsite žinoti bandymo dieną!

Be vieneto apskritimo įsiminimo, pravartu išmokti įvesti skaičius ir atsakymus . Perskaitykite mūsų vadovus, kad sužinotumėte viską apie šias dvi naudingas strategijas, kurias galite naudoti atliekant bet kurį matematikos testą, įskaitant SAT ir ACT!